System and signal summary

信号与系统入门

信号的分类和特征

确定信号与随机信号

连续时间信号和离散时间信号

周期信号与非周期信号（周期信号与非周期信号 F [k+N] ）

能量信号与功率信号（信号是否可积分lim）

信号f(t)看做是随时间变化的电压或者电流，则信号通过1Ω电阻，信号间隔在{-\frac{T}{2}}<T<{\frac{T}{2}} \(E=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^{2} d t\)

能量 除于 时间 就是 归一化功率。 \(P=\lim _{T \rightarrow \infty} {\frac{1}{T}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^{2} d t\) 有限能量 + 功率为0 = 能量信号

无限能量 + 有限功率 = 功率信号

无限能量 + 无限功率 = ???

周期信号基本是功率信号

能量信号和功率信号的分别 - 知乎 (zhihu.com)

f(t) = Asin(w0t + \theta); 归一化能量在周期内循环是无限的，但功率有限，所以为功率信号。

f(t)=e^-t; 非公非能

f[k]=(4/5)^k k>0; 能量信号

系统的描述及分类

连续时间系统（差分）和离散时间系统（微分）

差分与微分

线性时间系统和非线性时间系统（叠加特征，比例与齐次）

输出y[k] = 零输入响应f[k]+零输入状态y(0)

y(0)是初始状态

f[k]、y[k]是连续输入时间系统和输出

判断初始状态是否为非线性的时候，从以下三点判断

1. 可分解，系统输出相依可分解为零输入响应y(0)与零状态响应之和
2. 零输入响应线性，系统的零输入响应y(0)必须对所有的初始状态呈现线性特征
3. 零状态响应线性，系统的零状态响应y(0)必须对所有输入信号呈线性特征

设f[k]=af1[k]+

时不变和时变

判断是否为时不变系统，只需要输入激励延时后，判断其输出响应是否也存在相同延时。

y(t) = sin[f(t)]， 因为y1(t)=T{f(t-t0)}=sin[f(t-t0)]=y(t-t0);该系统为时不变系统

y(k)=f[2k]，因为y1=[k]=T{f(k-k0)}

因果系统和非因果系统

当且仅当输入信号激励系统才会产生系统输出响应的系统。

记忆系统与非记忆系统（动态系统与及时系统）

系统联结

级联、并联和反馈

信号的时域分析

连续时间信号的时域描述

普通信号

指数信号

虚指数信号和正弦信号（周期）

可以通过欧拉公式表示，虚指数信号可以用相同周期的正弦信号表示。 \(e^{jw_0t}=cos(w_0)+sin(w_0t) cos(w_0t)=\frac{1}{2}(e^{jw_0t}+e^{-jw_0t}) sin(w_0t)=\frac{1}{2j}(e^{jw_0t}-e^{jw_0t})\)

复指数信号

也可以通欧拉公式展开 \(Ae^{st}=Ae^{(\sigama+{jw_0})t}=Ae^{\sigma{t}}cos{w_0t}+jAe^{\sigma{t}}sin(w_0t)\)

复指数信号分为实数与虚数

若w0=0，复指数信号是一般的实指数信号

sigma=0, w0= 0，复指数信号的实部、虚部与时间无关成为直流信号。

复指数信号的微分和积分仍然是复指数信号。

抽样函数

指sint与t之比构成的函数，Sa(t) = sint/t

奇异信号

函数本身或者其导数，高阶导数出现奇异值（趋于无穷）

单位阶跃

阶跃信号在u（t）在t=0处有间断点，延x轴无限延伸或者是矩形的信号

延迟阶跃信号

单位冲激

作用时间极短，取值极大的一类信号的数学模型

冲激信号有强度，强度是冲剂信号对时间的积分。不定积分为1。

延时冲激信号

在t0时刻的冲激信号

此外：

可以利用指数信号、抽样信号等信号极限模型来定义冲激信号，生成各种好看的形状信号在坐标轴上。

冲激信号的性质

筛选：一个连续时间信号与冲激信号相乘，筛选出冲激信号。

采样：一个连续时间信号与冲激信号相乘，对齐数学模型积分，等于冲激信号的函数值f(t0)。

展缩：广义函数，连续（积分左等于右）。推论是冲激信号是偶函数。

卷积：连续信号f(t)与冲激信号相卷积，信号都为延时信号f(t-t0)。

冲激信号与阶跃信号

冲激信号是阶跃信号的一阶导数，反过来就是阶跃信号是冲激信号对时间的积分。

阶跃信号有间断点，信号在不连续点的导数都扥与冲激信号。冲激信号强度是不连续点的跳跃值。

冲激偶信号

对三角脉冲信号求导可获得矩形脉冲偶对。

矩形脉冲偶对求极限的话，就会变成冲激信号，而且强度是无穷大！

2.2离散时间信号时域描述

2.2.1基本离散序列

1.实指数序列

2.虚指数序列和正弦序列

欧拉公式可以把正弦序列和虚指数序列联系起来

3.复指数序列

4.单位脉冲序列

5.单位阶跃序列

2.3连续时间信号的基本运算

1.尺度变换f(t)=f(2t)

2.翻转f(t)=f(-t)

3.平移f(t+t0)

4.信号相加与相乘

5.信号的微分

其实就是信号对时间的导数

6.信号的积分

原函数的导数，即y为斜率。

2.4离散时间信号的基本运算

1.离散信号翻转

2.离散信号位移

3.离散信号尺度变换

在信号序列里面抽取和内插。

4.相加与相乘

5.差分

离散信号的差分和连续信号的微分相对应。

6.求和

2.5确定信号的时域分解

1.信号分解为交流分量和直流分量

\[f_{DC}(t)= \frac{1}{b-a} \int_^f(t)dt\]

2.信号分解为奇分量和偶分量

偶分量是沿y-asix对称，奇分量是x轴顺时针旋转180°对称

3.信号分解为实部分量和虚部分量

4.连续信号分解为单位冲激信号的线性组合

5.离散序列分级为单位脉冲序列的线性组合

2.6 matlab作业

\[1、用MATLAB实现信号,f_1(t)=cos(3πt)和f_2(t)=cos(5πt)的相加和相乘，分别绘制这两个信号及它们的和信号和积信号的波t形。\]

>> t=0:0.01:1; 
>> f1=cos(3*pi*t),subplot(2,2,1),plot(t,f1);
>> f2=cos(5*pi*t),subplot(2,2,2),plot(t,f2);
>> f3=f1+f2,subplot(2,2,3),plot(t,f3);
>> f4=f1.*f2,subplot(2,2,4),plot(t,f4);

\[2、用MATLAB产生信号f(t)=\epsilon(t)+\epsilon(t-2)+\epsilon(2t)-\epsilon(-0.5t)，并绘制波形。\]

>> titel('信号波形')
>> t=0:1:10;
>> T=1
>> eps=rectpuls(t,T);
>> eps2=rectpuls(t-2*T,T);
>> eps3=rectpuls(2*t,T);
>> eps4=rectpuls(-0.5*t,T);
>> ft=eps+eps2+eps3-eps4;
>> subplot(2,2,1),plot(t,ft);

\[3、用MATLAB画出函数f_1(t)=2[\epsilon(t+2)+\epsilon(t+3)-\epsilon(5t)]卷积f_2(t)=0.5e^{-4t}的图形。\]

>> T = 0.01;
>> t1 = 0,t2 = 10,t = t1:T:t2;
>> t4 = -12, t5 = 12, t3 = t4:T:t5;
>> f1=3*(stepfun(t,-2)+stepfun(t,-3)-(5*stepfun(t,0))),subplot(4,1,1),plot(t,f1),ylabel('f1(t)');
>> f2=0.5*exp(-4*t3),subplot(4,1,2),plot(t3,f2),ylabel('f2(t)');
>> y=conv(f1,f2),t6=(t1+t4):T:(t2+t5),subplot(4,1,3),plot(t6,y),ylabel(f(t));
>> title('信号卷积');

\[4、用MATLAB写出f(t)=0.5e^{4|t|}傅里叶变换的程序，并画出波形。\]

>> clear all
>> syms t v;
>> ft=fourier(0.5*exp(4*abs(t))),subplot(2,1,1);
>> ezplot(ft);

\[5、已知象函数F(s)=\frac{3s^3+11s^2+15s+6}{s^2+3s+2}，求逆变换f(t)，用MATLAB求解。\]

>> format rat;
>> [r, p ,k] = residue([3 11 15 6],[1 3 2]);
>> r=4,-1,p=-2,-1,k=3,2;

\[分子多项式F(s)=\frac{-2}{s+2}+\frac{2}{s+1}+\frac{-2}{(s+1)^2}+\frac{3}{(s+1)^3} 逆变换 f(t) = (\frac{3}{2}t^2e^{-t}-2te^{-t}+2e^{-t}-2e^{-2t})\epsilon(t)\]